6.2 Exact Values of Trigonometrical Ratios

基础练习

题目1 简单

Find the exact values of the following trigonometric ratios:

求下列三角函数比的精确值：

a) sin 30° b) cos 45° c) tan 60°

提示

直接使用30°、45°、60°角的三角函数精确值表。

解答

a) sin 30° = 1/2

b) cos 45° = √2/2

c) tan 60° = √3

题目2 简单

Express the following angles in radians and find their exact trigonometric values:

将下列角度转换为弧度制，并求其精确的三角函数值：

a) sin(π/6) b) cos(π/4) c) tan(π/3)

解答

a) sin(π/6) = sin 30° = 1/2

b) cos(π/4) = cos 45° = √2/2

c) tan(π/3) = tan 60° = √3

中等难度练习

题目3 中等

Find the exact value of sin(-210°).

求sin(-210°)的精确值。

提示

先将负角转换为正角，然后确定象限，最后使用三角恒等式。

解答

将-210°转换为正角：-210° = 360° - 210° = 150°

150°在第二象限，使用恒等式：sin(180° - θ) = sin θ

sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2

因此，sin(-210°) = 1/2

题目4 中等

Find the exact value of tan(7π/4).

求tan(7π/4)的精确值。

解答

7π/4 = 2π - π/4，在第四象限

在第四象限，tan为负值

tan(7π/4) = tan(2π - π/4) = -tan(π/4) = -1

因此，tan(7π/4) = -1

题目5 中等

Express the following as trigonometric ratios of either 30°, 45° or 60°, and hence find their exact values:

将下列表达式表示为30°、45°或60°的三角函数比，并求其精确值：

a) sin 135° b) cos 120° c) tan 225°

解答

a) sin 135° = sin(180° - 45°) = sin 45° = √2/2

b) cos 120° = cos(180° - 60°) = -cos 60° = -1/2

c) tan 225° = tan(180° + 45°) = tan 45° = 1

较难练习

题目6 较难

Find the exact value of sin(11π/6).

求sin(11π/6)的精确值。

解答

11π/6 = 2π - π/6，在第四象限

在第四象限，sin为负值

sin(11π/6) = sin(2π - π/6) = -sin(π/6) = -1/2

因此，sin(11π/6) = -1/2

题目7 较难

Find the exact value of cos(-7π/6).

求cos(-7π/6)的精确值。

解答

-7π/6 = -7π/6 + 2π = 5π/6，在第二象限

在第二象限，cos为负值

cos(5π/6) = cos(π - π/6) = -cos(π/6) = -√3/2

因此，cos(-7π/6) = -√3/2

题目8 较难

Find the exact value of tan(300°).

求tan(300°)的精确值。

解答

300°在第四象限

300° = 360° - 60°，与x轴形成的锐角是60°

在第四象限，tan为负值

tan(300°) = tan(360° - 60°) = -tan(60°) = -√3

因此，tan(300°) = -√3

综合应用

题目9 综合

Given that sin θ = 1/2 and θ is in the second quadrant, find the exact values of cos θ and tan θ.

已知sin θ = 1/2且θ在第二象限，求cos θ和tan θ的精确值。

解答

sin θ = 1/2，所以θ = 30°或150°

由于θ在第二象限，所以θ = 150°

cos 150° = cos(180° - 30°) = -cos 30° = -√3/2

tan 150° = tan(180° - 30°) = -tan 30° = -√3/3

因此，cos θ = -√3/2，tan θ = -√3/3

题目10 综合

Find all angles θ in the interval [0, 2π] such that sin θ = √3/2.

在区间[0, 2π]内，求所有满足sin θ = √3/2的角θ。

解答

sin θ = √3/2，所以θ = π/3或2π/3

在[0, 2π]内，sin θ = √3/2的解为：

θ = π/3（第一象限）

θ = 2π/3（第二象限）

因此，θ = π/3 或 θ = 2π/3

练习建议

1. 熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数精确值

2. 理解象限对三角函数值符号的影响

3. 熟练运用三角恒等式进行角度转换

4. 多做练习，提高计算速度和准确性